En 1776 el matemático francés Pierre Simon de Laplace comenzó a publicar 5 volúmenes de Traité du Mécanique Céleste, en el que afirmaba categórico que, si se conociera la velocidad y la posición de todas las partículas del Universo en un instante, se podría predecir su pasado y futuro. Por más de 100 años su afirmación pareció correcta y, por ello, se llegó a la conclusión de que el libre albedrío no existía, ya que todo estaba determinado.
El determinismo laplaciano consistí
a en afirmar que, si se conocen las leyes que gobiernan los fenómenos estudiados, se conocen las condiciones iniciales y se es capaz de calcular la solución, entonces se puede predecir con total certeza el futuro del sistema estudiado.
En matemáticas, un sistema determinista es un sistema en el cual el azar no está involucrado en los futuros estados del sistema. Es decir, si se conoce el estado actual del sistema, las variables de ambiente y el comportamiento del sistema ante los cambios en el ambiente, entonces se puede predecir sin ningún riesgo de error el estado siguiente del sistema.
En momentos críticos (puntos críticos) el determinismo se diluye y aparece el azar. Existen ciertos sistemas que no se pueden describir matemáticamente.
Un buen ejemplo es la siguiente función:
Xn+1=2Xn (0/1)
Pierde la noción del estado inicial, es imposible predecir la dirección del sistema.
Hay sistemas de los que no se puede saber su pasado, su punto inicial ni su futuro, sólo su estado en el momento de observación. Son llamados sistemas dinámicos caóticos. Sólo se pueden acotar con estadísticas.
Hay sistemas en los que pequeñísimas variaciones en el origen dan lugar a curvas en el propio sistema totalmente distintas. Esta pequeña variación es comúnmente llamada “el efecto mariposa”, es un concepto que hace referencia a la noción de sensibilidad a las condiciones iniciales dentro del marco de la teoría del caos. Su nombre proviene de un antiguo proverbio chino: "el aleteo de las alas de una mariposa se puede sentir al otro lado del mundo" y ha generado multitud de documentos en la cultura popular.
La idea es que, dadas unas condiciones iniciales de un determinado sistema natural, la más mínima variación en ellas puede provocar que el sistema evolucione en formas totalmente diferentes. Sucediendo así que, una pequeña perturbación inicial, mediante un proceso de amplificación, podrá generar un efecto considerablemente grande.
Un ejemplo claro sobre el efecto mariposa es soltar una pelota justo sobre la arista del tejado de una casa varias veces; pequeñas desviaciones en la posición inicial pueden hacer que la pelota caiga por uno de los lados del tejado o por el otro, conduciendo a trayectorias de caída y posiciones de reposo final completamente diferentes. Cambios minúsculos que conducen a resultados totalmente divergentes.
La ciudad. Sistema dinámico caótico.
Pequeños cambios en la ciudad pueden inducir grandes variaciones en los flujos, tanto visibles como invisibles de la ciudad.
RENÉ THOM.
Se propone generar una teoría matemática que explique los fenómenos de la naturaleza, la formogenesis. Tanto forma orgánica como inorgánica. La física determinista no pudo estudiar esta situación en el pasado, hay un abismo sorprendente. Lo aborda cambiando el enfoque. La ciencia clásica buscaba cuantificar, si no se podía medir, no era ciencia. Pero hay partes del conocimiento que no se pueden cuantificar. Los datos cualitativos son los importantes. René Thom buscó un modelo matemático logrando explicaciones cualitativas de cambio.
No se trata de encontrar soluciones exactas a las ecuaciones que definen dicho sistema dinámico (lo cual suele ser imposible), sino más bien el poder contestar preguntas como "¿A largo plazo, se estabilizará el sistema? ¿Y si lo hace, cuáles serán los estados posibles?" o "¿Variará el estado a largo plazo del sistema, si cambian las condiciones iniciales?"
Sistemas Dinámicos y Teoría del Caos es la rama de las Matemáticas que trata acerca del comportamiento cualitativo a largo plazo de un sistema dinámico.
Uno de los objetivos importantes aquí es describir los puntos fijos, o puntos estables de un sistema dinámico dado; son los valores de la variable que son constantes en el tiempo. Algunos de estos puntos son atractores, lo que significa que si el sistema 'arranca' en un estado cercano, convergerá hacia este punto fijo.
También nos interesan los puntos periódicos, o estados del sistema que se repiten una y otra vez. Los puntos periódicos también pueden ser atractores. El teorema de Sarkovskii describe el número de puntos periódicos en un sistema dinámico discreto unidimensional.
Incluso sencillos sistemas dinámicos no lineales suelen comportarse de forma complicada y completamente impredecible; esto se suele llamar caos. La rama de los sistemas dinámicos que trata con la definición e investigación del caos se llama teoría del caos.
No hay una única definición para un sistema dinámico caótico, pero en todo caso el comportamiento complicado del sistema se refleja en la existencia de puntos periódicos en cualquier pequeña porción del espacio en el que toma valores la variable, y la existencia de condiciones iniciales que al paso del tiempo toman valores muy cercanos a cualquiera de los valores que puede tomar la variable.
Hay una novísima investigación, alrededor de mediados de la anterior década, dedicada al encuentro entre las Ciencias sociales y la Teoría del caos. Encontrando la vía de los sistemas dinámicos de las matemáticas con la estructura de los sistemas sociales. Este tercer paradigma de las matemáticas y las probabilidades ha tomado el método de crear series aleatorias y analizarlas como distribuciones normales. Las series que pasen las pruebas de normalidad y que eran pseudoaleatorias, ahora son predictoras y obviamente caóticas, porque se hace la hipótesis de que también pasan la prueba de las propiedades de caoticidad y serían aplicables a muestreos en sistemas sociales con conductas caóticas.
Preguntando ¿Cómo? Y no ¿Cuánto? O ¿Por qué? Está basada en la topología. El cómo es más interesante que el cuánto. Se trata de un modelo de imágenes, imágenes que son ciencia. “¿Estoy haciendo magia o geometría?
Busca modelos geométricos que nos ayuden a entender los cambios bruscos en la forma de la naturaleza.
Estabilidad cualitativa o estabilidad estructural.
Todo conocimiento científico se basa en pautas establecidas, la ciencia busca regularidades. Se reconocen comportamientos cualitativos sin datos cuantitativos. En matemáticas, la teoría de estabilidad estudia la estabilidad de las soluciones de ecuaciones diferenciales y sistemas dinámicos, es decir, examina como difieren las soluciones bajo pequeñas modificaciones de las condiciones iniciales.
La estabilidad es muy importante en física y ciencias aplicadas, ya que en general en los problemas prácticos las condiciones iniciales nunca se conocen con toda precisión, y es importante que pequeñas desviaciones iniciales, no generen comportamientos cualitativos diferentes. Cuando la diferencia entre dos soluciones con valores iniciales cercanos puede acotarse mediante la diferencia de valores iniciales se dice que la evolución temporal del sistema presenta estabilidad.
La estabilidad estructural es la cualidad de los fenómenos cualitativos recurrentes, aunque desde el punto de vista cuantitativo no lo sean.
Una superficie se envuelve sobre si misma, y aparece un interior que se forma al sobreponer al exterior...Luego los extremos se cierran sobre si mismos y forman la envoltura sobre la que se agrupan los pliegues. Reconocemos esta forma en el interior de la bóveda bucal... (Es un misterio parecido al del cuchillo que se rompe al introducirlo en un vaso de agua). Al medirlo las cotas devuelven la transparencia a esta forma, con todas sus cualidades negativas: incolora, inodora y sin sabor. Y un croissant, la media luna en Argentina, es para ser comido.
Enric Miralles. Cómo acotar un croissant.
La vida es un efecto estable. Hay fenómenos naturales que presentan recurrencia cualitativa. Esto es lo que estudia Rene Thom.
Teoría de catástrofes. Propuesta por Rene Thom para describir los cambios de tipo formal, en los momentos de puntos críticos, puntos de crisis donde el sistema se bifurca, momentos de catástrofe. La Teoría de las catástrofes es el intento de desarrollar un sistema matemático que pudiera representar fenómenos naturales discontinuos que no pueden ser descritos por el cálculo diferencial de manera satisfactoria.
Propone modelos descriptivos cualitativos.
“la ciencia es física o es coleccionismo de sello”.
Pretende generar un modelo matemático geométrico (topología diferencial). Captamos mejor las formas que las magnitudes matemáticas. Hay que obviar las magnitudes como escala, tamaño, distancia.
¿Cuantas estructuras topologicamente imaginables serían posibles?
En los procesos simples hay un número limitado de estructuras posibles. Es valido para los cambios orgánicos e inertes.
Cualquiera que sea el fenómeno, si hay un número limitado de factores, la catástrofe tiene un número limitado de formas.
Las 7 catástrofes elementales.
Hay siete catástrofes elementales: doblez, intersección, autoconsumo, mariposa, hiperbólica central, elíptica central y parabólica central. Se formula para 4 factores, da para 7 tipos de catástrofe. Se abarca la realidad desde los modos de fracaso, buscando la forma en la que fallarán todos los modelos a la vez (“modo del múltiple fallo”).
FUENTES:
http://es.wikipedia.org/wiki/Caos_determinista
http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_determinista
http://es.wikipedia.org/wiki/Efecto_mariposa
http://laleydelcaramelo.wordpress.com/2008/04/06/%c2%bfque-es-el-efecto-mariposa/
http://es.wikipedia.org/wiki/Sistemas_din%C3%A1micos_y_teor%C3%ADa_del_caos
http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_las_cat%C3%A1strofes
http://blogs.ya.com/tengo-sueno/c_41.htm
http://www.12manage.com/methods_thom_catastrophe_theory_es.html
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